Metoda funkcji Greena dla równań parabolicznych

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc u:\Omega\times (0,+\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją posiadającą pochodne drugiego rzędu względem zmiennych \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n.\hskip 0.3pc \) Rozważmy operator

\( L(u)={\rm div}\,(k\nabla u-qu), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc q\hskip 0.3pc \) są zadanymi funkcjami określonymi na zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc \nabla =\big(\tfrac {\partial}{\partial x_1}, \ldots ,\tfrac {\partial}{\partial x_n}\big)\hskip 0.3pc \) jest operatorem Nabla. Zauważmy, że w definicji operatora \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) występuje tylko różniczkowanie względem zmiennych przestrzennych \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n\hskip 0.3pc \).

Przykład 1: Równania jednorodne.

Rozważmy równanie jednorodne

(1)

\( L(u(x,t))=\rho (x)u_t(x,t)\qquad {\rm dla}\quad x\in \Omega,\hskip 0.4pc t>0 \)

z warunkiem brzegowym

(2)

\( a(x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x,t)+b(x)u(x,t)=0 \qquad{\rm dla}\quad x\in \partial \Omega,\hskip 0.4pc t>0 \)

oraz warunkiem początkowym

(3)

\( u(x,0)=\varphi (x) \qquad{\rm dla}\quad x\in \Omega, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) są zadanymi funkcjami, \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) unormowanym wektorem normalnym do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \).

Jeśli \( \hskip 0.3pc k=1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc q=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \rho =1,\hskip 0.3pc \) to równanie ( 1 ) przyjmuje postać

\( \Delta u=u_t \qquad {\rm dla}\quad x\in \Omega,\hskip 0.6pc t>0. \)

W celu znalezienia rozwiązań problemu ( 1 ) - ( 3 ), dla dowolnie ustalonego \( \hskip 0.3pc y \in \Omega\hskip 0.3pc \) rozważmy problem pomocniczy

(4)

\( L(G(x,t))=\rho (x)\,G_t(x,t) \qquad {\rm dla}\quad x\in \Omega,\hskip 0.6pc t>0, \)

(5)

\( a(x)\dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,t)+b(x)G(x,t)=0\qquad{\rm dla}\quad x\in \partial \Omega,\hskip 0.6pc t>0 \)

(6)

\( G(x,0)=\delta (x-y) \qquad{\rm dla}\quad x\in \Omega, \)

gdzie symbol \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) oznacza \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.2pc \)-Diraca.

Załóżmy, że problem pomocniczy ( 4 ) - ( 6 ) posiada rozwiązanie ciągłe \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) określone w zbiorze \( \hskip 0.3pc \big(\Omega \times (0,+\infty)\big)\setminus \{(y,0)\}.\hskip 0.3pc \) Ponieważ rozwiązanie to zależy od \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \) połóżmy \( \hskip 0.3pc G=G(x,t;y).\hskip 0.3pc \) Okazuje się, że rozwiązanie problemu ( 1 ) - ( 3 ) możemy wówczas zapisać w postaci

(7)

\( u(x,t)= \displaystyle\int_{\partial \Omega}G(x,t;y) \varphi (y)dS, \)

gdzie zmienną całkowania jest \( \hskip 0.3pc y.\hskip 0.3pc \)
Istotnie, obkładając operatorem \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) (działającym względem zmiennej \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \)) obie strony równości ( 7 ) i wykorzystując kolejno ( 4 ) i ponownie ( 7 ) otrzymamy

\( \begin{aligned}L(u(x,t))=&\displaystyle\int_{\partial \Omega}L\big(G(x,t;y\big) \varphi (y)dS =\displaystyle\int_{\partial \Omega}\rho(x)G_t(x,t;y) \varphi (y)dS = \\=&\rho(x)\displaystyle\int_{\partial \Omega} G_t(x,t;y) \varphi (y)dS\, = \rho(x)\dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{\partial \Omega} G(x,t;y) \varphi (y)dS = \rho(x) \,u_t(x,t).\end{aligned} \)

Uwzględniając teraz równość ( 7 ) i ( 5 ) mamy

\( \begin{aligned}a(x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x,t)+b(x)u(x,t)=& a(x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu}\displaystyle\int_{\partial \Omega} G(x,t;y) \varphi (y)dS+b(x)\displaystyle\int_{\partial \Omega}G(x,t;y) \varphi (y)dS=\\=&\displaystyle\int_{\partial \Omega} \Big(a(x)\dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,y,t)+b(x)G(x,t;y)\Big)\varphi (y)dS=0,\end{aligned} \)

dla \( \hskip 0.3pc x\in \partial \Omega,\hskip 0.2pc \) \( \hskip 0.1pc t>0.\hskip 0.3pc \) Wykorzystując z kolei ( 7 ) i ( 8 ), dla \( \hskip 0.3pc x\in \partial \Omega\hskip 0.3pc \) mamy

\( u(x,0)= \displaystyle\int_{\partial \Omega}G(x,0;y) \varphi (y)dS =\displaystyle\int_{\partial \Omega} \delta (x-y) \varphi (y)dS= \varphi (x). \)

Ostatnia równość kończy dowód stwierdzenia, że funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) dana wzorem ( 7 ) jest rozwiązaniem problemu ( 1 ) - ( 3 ). Rozwiązanie \( \hskip 0.3pc G(\,\cdot,\,\cdot ;y)\hskip 0.3pc \) problemu ( 4 ) - ( 6 ) nazywa się funkcją Greena dla problemu ( 1 ) - ( 3 ).

Przykład 2: Równanie niejednorodne z warunkami jednorodnymi.

Rozważmy teraz równanie niejednorodne

(8)

\( L(u(x,t))+f(x,t)=\rho (x)\,u_t(x,t) \qquad {\rm dla}\quad x\in \Omega,\hskip 0.5pc t>0, \)

z warunkiem brzegowym ( 2 ) oraz warunkiem początkowym ( 3 ), gdzie \( \hskip 0.3pc a,\hskip 0.3pc b,\hskip 0.2pc \) \( \hskip 0.1pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) są zadanymi funkcjami.

Rozwiązanie problemu niejednorodnego ( 8 ), ( 2 ), ( 3 ) możemy wyrazić jako sumę rozwiązań problemu jednorodngo ( 1 ) - ( 3 ) danego wzorem ( 7 ) oraz problemu:

(9)

\( L(v(x,t))+f(x,t)=\rho (x)\,v_t(x,t) \qquad {\rm dla}\quad x\in \Omega, \hskip 0.5pc ,t>0, \)

(10)

\( a(x)\dfrac{\partial v}{\partial \nu}(x,t)+b(x)v(x,t)=0 \qquad{\rm dla}\quad x\in \partial \Omega,\hskip 0.5pc t>0 \)

(11)

\( v(x,0)=0 \qquad{\rm dla}\quad x\in \Omega, \)

W celu znalezienia rozwiązania problemu ( 9 ) - ( 11 ) zastosujemy metodę wielokrotnie używaną wcześniej. Mianowicie, dla dowolnie ustalonego \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \) rozważamy problem pomocniczy:

(12)

\( L(w(x,t))=\rho (x)\,w_t(x,t) \qquad {\rm dla} \quad x\in \Omega ,\hskip0.5pc t \geq \tau , \)

(13)

\( a(x)\dfrac{\partial w}{\partial \nu}(x,t)+b(x)w(x,t)=0 \qquad{\rm dla}\quad x\in \partial \Omega,\hskip0.5pc t\geq\tau , \)

(14)

\( w(x,\tau)=\dfrac{f(x,\tau )}{\rho (x)} \qquad{\rm dla}\quad x\in \Omega . \)

Niech \( \hskip 0.3pc w=w(x,t;\tau ), \) \( \hskip 0.3pc x\in\Omega\hskip 0.3pc \), \( pc t>0,\hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem problemu ( 12 ) - ( 14 ). Rozwiązanie to jest dane wzorem ( 7 ), gdzie w miejsce funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) należy wstawić \( \hskip 0.3pc f(\cdot ,\tau )/\rho (\cdot ),\hskip 0.3pc \)) a zmienną \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) w funkcji Greena należy zastąpić zmienną
\( \hskip 0.3pc t-\tau \hskip 0.3pc \), czyli

\( w(x,t;\tau )=\displaystyle\int_{\partial\Omega}G(x,t-\tau ;y)\dfrac{f(y,\tau )}{\rho (y)}dS. \)

Pokażemy, że funkcja

(15)

\( v(x,t)=\displaystyle\int_0^tw(x,t;\tau )d\tau \qquad {\rm dla}\quad x\in \Omega, \hskip 0.5pc t>0, \)

jest szukanym rozwiązaniem problemu ( 9 ) - ( 11 ).
Istotnie, różniczkując równość ( 15 ) względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i uwzględniając warunek ( 14 ) mamy

\( v_t(x,t)= w(x,t;t)+\displaystyle\int_0^tw_t(x,t;\tau )d\tau= \dfrac{f(x,t) }{\rho (x)}+\displaystyle\int_0^tw_t(x,t;\tau )d\tau. \)

Wykorzystując teraz ostatnią równość, następnie relacje ( 12 ) oraz ( 15 ), otrzymamy

\( \begin{aligned}\rho (x)\,v_t(x,t)=& f(x,t)+ \displaystyle\int_0^t\rho (x)w_t(x,t;\tau )d\tau= f(x,t)+ \displaystyle\int_0^tL\big(w(x,t;\tau )\big)d\tau =\\=& f(x,t)+ L\Big(\displaystyle\int_0^tw(x,t;\tau )d\tau\Big)=f(x,t)+ L\big(v(x,t)\big),\end{aligned} \)

co oznacza, że funkcja \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 9 ). Zgodnie z warunkiem ( 13 ) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \) mamy

\( a(x)\dfrac{\partial w}{\partial \nu}(x,t;\tau)+b(x)w(x,t;\tau)=0\qquad{\rm dla}\quad x\in \partial \Omega,\hskip0.5pc t\geq \tau . \)

Całkując ostatni związek względem \( \hskip 0.3pc \tau\hskip 0.3pc \) w przedziale \( \hskip 0.3pc (0,t)\hskip 0.3pc \) i uwzględniając równość ( 15 ) otrzymamy warunek ( 10 ). Ponieważ w oczywisty sposób \( \hskip 0.3pc v(x,0)=0\hskip 0.3pc \) pokazaliśmy, że \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) jest szukanym rozwiązaniem problemu ( 9 ) - ( 12 ).

Przykład 3: Równanie niejednorodne z warunkami niejednorodnymi.

Rozważmy teraz równanie niejednorodne ( 8 ) z niejednorodnym warunkiem brzegowym

(16)

\( a(x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x,t)+b(x)u(x,t)=\psi (x)\qquad{\rm dla}\quad x\in \partial \Omega,\hskip 0.5pc t>0 \)

oraz warunkiem początkowym ( 3 ), gdzie \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc b,\hskip 0.1pc \) \( \hskip 0.1pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) są zadanymi funkcjami.

Rozwiązanie tego problemu możemy wyrazić w postaci sumy \( \hskip 0.3pc u=u_1+u_2\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) jest funkcją spełniającą warunek ( 16 ), różniczkowalną względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i taką, że \( \hskip 0.3pc L(u_1)\hskip 0.3pc \) jest dobrze określone, a \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu:

\( L(u(x,t))+F(x,t)=\rho (x) \dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t), \qquad (x,t)\in \Omega, \)

\( a(x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x,t)+b(x)u(x,t)=0, \qquad x\in \partial \Omega,\hskip 0.5pc t>0, \)

\( u(x,0)=\varphi (x)-u_1(x,0),\qquad x\in \Omega, \)

gdzie

\( F(x,t)=f(x,t)-L\big(u_1(x,t)\big)+\rho \dfrac{\partial u_1}{\partial t}(x,t). \)

Rozwiązanie ostatniego problemu zostało podane w przykładzie Równania jednorodne. .

Przykład 4: Problem Cauchy'ego.

Rozważmy teraz problem Cauchy'ego dla równania parabolicznego:

(17)

\( L(u(x,t))+f(x,t)=\rho (x)\,u_t(x,t)\qquad {\rm dla}\quad x\in \mathbb R^n,\hskip0.5pc t>0, \)

(18)

\( u(x,0)=\varphi (x) \qquad{\rm dla}\quad x\in \mathbb R^n, \)

Funkcją Greena dla problemu ( 17 ), ( 18 ) nazywamy rozwiązanie problemu:

(19)

\( L(G(x,t))=\rho (x) G_t(x,t)\qquad {\rm dla}\quad x\in \mathbb R^n,\hskip0.5pc t>0, \)

(20)

\( G(x,0)=\delta (x-y) \qquad {\rm dla}\quad x\in \mathbb R^n. \)

W przypadku, gdy \( \hskip 0.3pc f(x,t)\equiv 0,\hskip 0.3pc \) rozwiązanie problemu ( 17 ), ( 18 ) dane jest wzorem ( 6 ), gdzie \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu ( 19 ), ( 20 ). Jeśli \( \hskip 0.3pc f\neq 0,\hskip 0.3pc \) rozwiązanie problemu ( 17 ), ( 18 ) szukamy w postaci sumy \( \hskip 0.3pc u=v+w,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu:

\( L\big(v(x,t)\big)=\rho (x) v_t(x,t), \qquad x\in \mathbb R^n,\hskip0.5pc t>0, \)

\( v(x,0)= \varphi (x), \qquad x\in \mathbb R^n, \)

a \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu:

\( L(w(x,t))+f(x,t)=\rho(x)w(x,t),\qquad x\in \mathbb R^n,\hskip0.5pc t>0, \)

\( w(x,0)=0, \qquad x\in \mathbb R^n. \)

Rozwiązanie ostatniego problemu - co łatwo sprawdzić - możemy wyrazić wzorem

\( w(x,t)=\displaystyle\int_0^t\widetilde w(x,t;\tau )d\tau , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \widetilde w\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu pomocniczego:

\( L\big(\widetilde w(x,t)\big)=\rho (x) \widetilde w_t(x,t), \qquad x\in \mathbb R^n,\hskip0.5pc t>\tau, \)

\( \widetilde w(x,\tau)=\dfrac{f(x,\tau )}{\rho (x)}, \qquad x\in \mathbb R^n. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Metoda funkcji Greena dla równań parabolicznych

Przykład 1: Równania jednorodne.

Przykład 2: Równanie niejednorodne z warunkami jednorodnymi.

Przykład 3: Równanie niejednorodne z warunkami niejednorodnymi.

Przykład 4: Problem Cauchy'ego.